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<!DOCTYPE html>

<title>Reaktionsdiffusionsgleichung</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Reaktionsdiffusionsgleichung</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p><b>Reaktionsdiffusionsgleichungen</b> (RD-Gleichungen) beschreiben Vorgänge, bei denen eine lokale Wechselwirkung und zusätzlich eine <a href="Diffusion" title="Diffusion">Diffusion</a> auftritt. Ein Beispiel aus der Chemie sind etwa Modelle für die <a href="Belousov-Zhabotinsky-Reaktion" title="Belousov-Zhabotinsky-Reaktion">Belousov-Zhabotinsky-Reaktion</a> (BZ-Reaktion), bei der räumliche Muster entstehen, weil eine lokal <a href="Oszillierende_Reaktion" title="Oszillierende Reaktion">oszillierende chemische Reaktion</a> mit einem Diffusionsvorgang gekoppelt ist. Ein Beispiel aus der Biologie sind räumliche Ausbreitungsprozesse von Tieren und Pflanzen. Hierbei hat der Interaktionsterm oft die Form einer logistischen <a href="Kolmogorov-Gleichung" class="mw-redirect" title="Kolmogorov-Gleichung">Kolmogorov-Gleichung</a>.

</p><p>Bei RD-Gleichungen handelt es sich um <a href="Partielle_Differentialgleichung" title="Partielle Differentialgleichung">partielle Differentialgleichungen</a> zweiten Grades, die der Form nach <a href="Geschwindigkeitsgesetz" title="Geschwindigkeitsgesetz">Geschwindigkeitsgesetze</a> sind (Herleitung siehe dort). Sie beschreiben also die zeitliche Änderung einer Größe X (z. B. <a href="Stoffmenge" title="Stoffmenge">Stoffmenge</a>, <a href="Abundanz_(%C3%96kologie)" title="Abundanz (Ökologie)">Abundanz</a>, <a href="Konzentration_(Chemie)" title="Konzentration (Chemie)">Konzentration</a> o. Ä.):

</p>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u=f(u)+D\cdot {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5033b3b3a2eee4e95c4e860ef9c123cc06bb30cc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.171ex; width:24.151ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u=f(u)+D\cdot {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<ul><li>Die Funktionen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}" loading="lazy"></span> der Zeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.84ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle t}" loading="lazy"></span> und des Ortes <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span> bilden die Größen ab, deren Dynamik beschrieben wird. Dabei können mehrere Stoffe, die miteinander wechselwirken, berücksichtigt werden, indem man <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle u}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle u}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle u}" loading="lazy"></span> eine Vektorform gibt und die Gleichung als Matrix-Gleichung auffasst.</li>

<li>Die Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(u)}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(u)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/32b282ccf3cf0f2b0b601e8629d61612d4951098.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(u)}" loading="lazy"></span> beschreibt den Reaktionsanteil. Ohne den Reaktionsanteil hätte die RD-Gleichung die Form der <a href="W%C3%A4rmeleitungsgleichung" title="Wärmeleitungsgleichung">Wärmeleitungsgleichung</a>.</li>

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</mrow>

</msup>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D\cdot {\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a0e77d5efb62640138d50966a0e6103867b5e08.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.505ex; width:8.473ex; height:4.343ex;" alt="{\displaystyle D\cdot {\tfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u}" loading="lazy"></span> stammt aus dem <a href="Diffusion#Zweites_Ficksches_Gesetz_(Diffusionsgleichung)" title="Diffusion">2. Fickschen Gesetz</a> und beschreibt die Diffusion.

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle D}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f34a0c600395e5d4345287e21fb26efd386990e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.924ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle D}" loading="lazy"></span> ist der <a href="Diffusionskoeffizient" title="Diffusionskoeffizient">Diffusionskoeffizient</a>.</li></ul></li></ul>

<p>Liegt außerdem ein gerichteter Transportprozess vor (<a href="Konvektion" title="Konvektion">Konvektion</a>), so muss die obige Reaktions-Diffusionsgleichung um einen Konvektionsterm erweitert werden, analog zur <a href="Konvektions-Diffusions-Gleichung" title="Konvektions-Diffusions-Gleichung">Konvektions-Diffusions-Gleichung</a>.

</p><p>Reaktionsdiffusionsgleichungen finden in der <a href="Technische_Chemie" title="Technische Chemie">Technischen Chemie</a> und im <a href="Maschinenbau" title="Maschinenbau">Maschinenbau</a> Anwendung. Dort werden verschiedene Systeme betrachtet, bei denen Reaktion, Diffusion und Konvektion zusammen auftreten (<a href="Makrokinetik" title="Makrokinetik">Makrokinetik</a>). Beispiele sind die Auslegung von <a href="Chemischer_Reaktor" title="Chemischer Reaktor">chemischen Reaktoren</a> oder technische <a href="Verbrennung_(Chemie)" title="Verbrennung (Chemie)">Verbrennungsvorgänge</a>.

In der <a href="Entwicklungsbiologie" title="Entwicklungsbiologie">Entwicklungsbiologie</a> spielen Reaktionsdiffusionsgleichungen seit <a href="Alan_Turing" title="Alan Turing">Alan Turing</a> eine überragende Rolle bei der mathematischen Theorie der <a href="Morphogenese" title="Morphogenese">Morphogenese</a>, siehe <a href="Turing-Mechanismus" title="Turing-Mechanismus">Turing-Mechanismus</a>. Systeme mit einer aktivierenden und zwei inhibierenden Komponenten spielen eine wichtige Rolle bei der Modellierung der <a href="Strukturbildung" class="mw-redirect" title="Strukturbildung">Strukturbildungsprozesse</a> <a href="Lokalisierung_(Physik)" title="Lokalisierung (Physik)">lokalisierter</a> teilchenartiger Strukturen, sogenannter <a href="Dissipative_Struktur" title="Dissipative Struktur">dissipativer</a> <a href="Soliton" title="Soliton">Solitonen</a>, die z. B. bei oszillierenden chemischen Reaktionen vom Typ der <a href="Belousov-Zhabotinsky-Reaktion" title="Belousov-Zhabotinsky-Reaktion">Belousov-Zhabotinsky-Reaktion</a> und <a href="Halbleiter" title="Halbleiter">Halbleiter</a>-<a href="Gasentladung" title="Gasentladung">Gasentladungssystemen</a> beobachtet werden. Auch <a href="Chemische_Welle" title="Chemische Welle">Chemische Wellen</a> und Ausbreitung von Nervenpulsen werden mit Reaktions-Diffusions-Gleichungen beschrieben.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spezielle_Fälle"><span id="Spezielle_F.C3.A4lle"></span>Spezielle Fälle</h2></div>

<p>Je nach der Form des Reaktionsanteils werden Spezialversionen der RD-Gleichungen unterschieden:<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(u)=u\cdot (1-u)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ad6a65d5e51ab1e13a36803fb27b79042597b64d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.667ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(u)=u\cdot (1-u)}" loading="lazy"></span> die Fisher-Gleichung, sie findet Anwendung in der Populationsdynamik (ohne den Diffusionsterm wäre es die Differentialgleichung für die <a href="Logistische_Funktion" title="Logistische Funktion">Logistische Funktion</a>). Eine etwas allgemeinere Variante ist die <a href="KPP-Gleichung" title="KPP-Gleichung">KPP-Gleichung</a> bei der <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(1)=f(0)=0}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(1)=f(0)=0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9f42fb65caa3d2025338f60e362e2afd623fc85e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:15.86ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(1)=f(0)=0}" loading="lazy"></span>, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(u')>0}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(u')>0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7183e206aa4923cc072d78198dd616bd176d5aa7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.363ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle f(u')>0}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {df}{du}}(u')<{\frac {df}{du}}(0)}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</msup>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {df}{du}}(u')<{\frac {df}{du}}(0)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4c8e912daddc6c888132954094a2d69efc21e838.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:16.657ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {df}{du}}(u')<{\frac {df}{du}}(0)}" loading="lazy"></span> für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<u'<1}">

<msup>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<u'<1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b73ca3c1734e6edf3d43653e689c28cc7e3b270.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.536ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle 0<u'<1}" loading="lazy"></span>. Die Fisher-Gleichung und die Newell-Whitehead-Gleichung sind Spezialfälle der KPP-Gleichung.</li>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(u)=u^{2}\cdot (1-u)}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/481aa52d30bace732ce2ab989d1470f629d6c03c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.721ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(u)=u^{2}\cdot (1-u)}" loading="lazy"></span>, <a href="Seldowitschgleichung" title="Seldowitschgleichung">Seldowitschgleichung</a> (Zeldovich-Gleichung) zum Beispiel bei Verbrennungsvorgängen.</li>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(u)=u(1-u^{2})}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/feb98f788aafa64645f83c7b5d3c2f24cfc3e117.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:17.042ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle f(u)=u(1-u^{2})}" loading="lazy"></span> Newell-Whitehead-Gleichung oder Amplituden-Gleichung, angewandt bei der <a href="Rayleigh-B%C3%A9nard-Konvektion" title="Rayleigh-Bénard-Konvektion">Rayleigh-Bénard-Konvektion</a>.</li>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(u)=u\cdot (1-u)\cdot (u-\alpha )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8702c21ba0750fd99c1862a983302ade918eb3f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:26.813ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle f(u)=u\cdot (1-u)\cdot (u-\alpha )}" loading="lazy"></span> (mit einem Parameter <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 0<\alpha <1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 0<\alpha <1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b43eb26b3586c8f17272d05089e2ce832c274dea.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.009ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle 0<\alpha <1}" loading="lazy"></span>) Nagumo-Gleichung für Ausbreitung von Nervenpulsen in einem Axon</li></ul>

<p>Ein weiteres Beispiel ist die <a href="Por%C3%B6se-Medien-Gleichung" title="Poröse-Medien-Gleichung">Poröse-Medien-Gleichung</a> und die <a href="Burgersgleichung" title="Burgersgleichung">Burgersgleichung</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Teilchenmodelle">Teilchenmodelle</h2></div>

<p>Eine detailgetreue Beschreibung von Reaktionsdiffusionssystemen kann mit <a href="Teilchenmodell" title="Teilchenmodell">Teilchenmodellen</a> wie SRSim oder ReaDDy erfolgen.<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

Beispielsweise mit Algorithmen wie Reversible interacting-particle reaction dynamics.<sup id="cite_ref-3" class="reference"><a href="#cite_note-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Belousov-Zhabotinsky-Reaktion" title="Belousov-Zhabotinsky-Reaktion">Belousov-Zhabotinsky-Reaktion</a></li>

<li><a href="Morphogenese" title="Morphogenese">Morphogenese</a></li>

<li><a href="Liesegangsche_Ringe" title="Liesegangsche Ringe">Liesegangsche Ringe</a></li>

<li><a href="KPP-Gleichung" title="KPP-Gleichung">KPP-Gleichung</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>

<ul><li>Dilip Kondepudi, <a href="Ilya_Prigogine" title="Ilya Prigogine">Ilya Prigogine</a>: <i>Modern Thermodynamics. From Heat Engines to Dissipative Structures.</i> John Wiley & Sons, Chichester u. a. 1998, ISBN 0-471-97393-9.</li>

<li><a href="James_D._Murray" title="James D. Murray">J. D. Murray</a>: <i>Mathematical Biology.</i> 2 Bände. 3. edition, corrected printing. Springer, New York NY u. a. 2008, ISBN 978-0-387-95223-9 (Bd. 1), ISBN 978-0-387-95228-4 (Bd. 2), (<i>Interdisciplinary applied mathematics</i> 17–18).</li>

<li>Andreas W. Liehr: <i>Dissipative Solitons in Reaction Diffusion Systems. Mechanism, Dynamics, Interaction.</i> Volume 70 of Springer Series in Synergetics, Springer, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-31250-2.</li>

<li><span class="book">B. A. Grzybowski: <cite class="lang" lang="en" dir="auto" style="font-style:italic">Chemistry in Motion: Reaction-Diffusion Systems for Micro- and Nanotechnology</cite>. 2009 (englisch, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.wiley.com/en-al/Chemistry+in+Motion%3A+Reaction+Diffusion+Systems+for+Micro+and+Nanotechnology-p-9780470030431">wiley.com</a>).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Reaktionsdiffusionsgleichung&rft.au=B.+A.%26%2332%3BGrzybowski&rft.btitle=Chemistry+in+Motion%3A+Reaction-Diffusion+Systems+for+Micro-+and+Nanotechnology&rft.date=2009&rft.genre=book" style="display:none"> </span></span></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"> B. H. Gilding u. a. (Hrsg.), Travelling waves in nonlinear diffusion-convection equation reaction, Birkhäuser 2004, S. 2</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Simulation tools for particle-based reaction-diffusion dynamics in continuous space <a rel="nofollow" class="external free" href="https://link.springer.com/article/10.1186/s13628-014-0011-5">https://link.springer.com/article/10.1186/s13628-014-0011-5</a></span>

</li>

<li id="cite_note-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-3">↑</a></span> <span class="reference-text">Fröhner, Christoph, and Frank Noé. "Reversible interacting-particle reaction dynamics." The Journal of Physical Chemistry B 122.49 (2018): 11240–11250.</span>

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4323967-5">4323967-5</a></span> | <a href="Library_of_Congress_Control_Number" title="Library of Congress Control Number">LCCN</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://id.loc.gov/authorities/sh90003490">sh90003490</a></span> </div>

</div></div></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>